Question

19．已知${（{x-m}）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$的展开式中x⁴的系数是-35，
（1）求a₁+a₂+…+a₇的值；
（2）求a₁+a₃+a₅+a₇的值．

Answer 1

分析 由${T_{r+1}}=C_7^r{x^{7-r}}{（{-m}）^r}，0≤r≤7，r∈Z$，可得$C_7^3{（{-m}）^3}=-35$，m=1．
（1）令x=1时，${a_1}+{a_2}+…+{a_7}={（{1-1}）^7}=0$，令x=0时，${a_0}={（{-1}）^7}=-1$．即可得出．．
（2）令x=-1时，${a_0}-{a_1}+…-{a_7}={（{-1-1}）^7}=-{2^7}$．又${a_1}+{a_2}+…+{a_7}={（{1-1}）^7}=0$，即可得出．

解答 解：∵${T_{r+1}}=C_7^r{x^{7-r}}{（{-m}）^r}，0≤r≤7，r∈Z$，
∴$C_7^3{（{-m}）^3}=-35$，∴m=1．
（1）令x=1时，${a_1}+{a_2}+…+{a_7}={（{1-1}）^7}=0$，①
令x=0时，${a_0}={（{-1}）^7}=-1$．
∴a₁+a₂+…+a₇=1．
（2）令x=-1时，${a_0}-{a_1}+…-{a_7}={（{-1-1}）^7}=-{2^7}$．②
①-②得${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}={2^6}$．

点评 本题考查了二项式定理、方程的思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．