Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，角A为锐角，设△ABC的面积满足${S_△}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$且 $\frac{c}{b}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$．求角A和tanB的值．

Answer 1

分析 由${S_△}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，可得$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，可得$A=\frac{π}{3}$．由$\frac{c}{b}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，利用正弦定理得 $\frac{sinC}{sinB}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，即$\frac{{sin（{A+B}）}}{sinB}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，化简整理即可得出．

解答 解：∵${S_△}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又$A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，∴$A=\frac{π}{3}$．
∵$\frac{c}{b}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，由正弦定理得 $\frac{sinC}{sinB}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，
∴$\frac{{sin（{A+B}）}}{sinB}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB=（{\frac{1}{2}+\sqrt{3}}）sinB$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB=\sqrt{3}sinB$，即$tanB=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角形面积计算公式、正弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．