Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）
（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x₀）=$\sqrt{3}$，若g（x）=1+2cos2x，求g（x₀）的值．

Answer 1

分析 （1）通过图象中的函数零点以及极值点对应的自变量求得周期，即可求得ω，通过函数图象经过的点求A，φ；
（2）由（1）代入解析式求得x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），对应的值，代入g（x），求g（x₀）的值．

解答 解：（1）由图象知道A=2，$\frac{T}{4}=\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}=\frac{π}{4}$，所以T=π=$\frac{2π}{ω}$，所以ω=2，又图象经过（$\frac{π}{6}$，2），
所以sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{6}$．
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）得到f（x₀）=$\sqrt{3}$=2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$），x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以x₀=$\frac{π}{12}$或者$\frac{π}{4}$，所以x₀=$\frac{π}{12}$，g（x₀）=1+2cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$+1；
x₀=$\frac{π}{4}$，g（x₀）=1+2cos$\frac{π}{2}$=1．

点评 本题考查了三角函数的解析式求法以及求三角函数值；关键是利用图象和性质正确求出解析式．