Question

17．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列，a²-c²=ac+bc，a=3$\sqrt{3}$，则$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=（　　）

• A． 12
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 a，b，c成等比数列，可得b²=ac．又a²-c²=ac+bc，可得b²+c²-a²=-bc．利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$．利用正弦定理可得$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$，即可得出．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
∵a²-c²=ac+bc，∴a²-c²=b²+bc，∴b²+c²-a²=-bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$．A∈（0，π）．
∴$A=\frac{2π}{3}$．
则$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{3\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=6．
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．