Question

13．已知函数f（x）=|x+4|-|x-1|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若不等式f（x）+1≤4^a-5×2^a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$，分类讨论，求得不等式f（x）＞3的解集．
（2）根据题意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$ 的最小值为-5，可得4^a-5×2^a-1≥-5，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$，
则当x≤-4时，不成立；当-4＜x＜1时，2x+3＞3，解得0＜x＜1；
当x≥1时，5＞3成立，故原不等式的解集为{x|x＞0}．
（2）根据题意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$ 的最小值为-5，
由即f（x）≤4^a-5×2^a-1有解，∴4^a-5×2^a-1≥-5，即4^a-5×2^a+4≥0，即2^a≥4或2^a≤1，∴a≥2或a≤0，
故实数a的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数的性质，指数不等式的解法，属于中档题．