Question

3．设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（x）+f′（x）．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与g（$\frac{1}{x}$）的大小关系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜$\frac{1}{x}$对任意x＞0成立？若存在求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求导，根据导数的正负取得函数的单调区间，从而可得函数的最小值；
（2）构造函数φ（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g（x）与g（$\frac{1}{x}$）的大小大小关系；
（3）假设存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜$\frac{1}{x}$对任意x＞0成立，转化为封闭型命题，利用研究函数的最值可得结论．

解答 解：（1）由f（1）=0，导函数f′（x）=$\frac{1}{x}$可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0．
求导函数可得g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
所以当x∈（0，1）时，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，
故函数的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），极小值为g（1）=1
∵函数在定义域上仅有一个极小值，∴也为最小值，最小值为g（1）=1．
（2）设φ（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$）=2lnx+$\frac{1}{x}$-x，x＞0，
则φ′（x）=-（ $\frac{x-1}{x}$）²≤0，故函数在定义域内为减函数，
∵φ（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，即g（x）＞g（$\frac{1}{x}$）；
x∈（1，+∞）时，φ（x）＜0，即g（x）＜g（$\frac{1}{x}$）；
x=1时，g（x）=g（$\frac{1}{x}$）．
（3）假设存在满足题设的x₀，则|g（x）-g（x₀）|＜$\frac{1}{x}$
?-$\frac{1}{x}$＜g（x₀）-（lnx+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$
?lnx＜g（x₀）＜lnx+$\frac{2}{x}$，对任意x＞0成立，
从而有 $\left\{\begin{array}{l}{{（lnx）}_{max}＜g{（x}_{0}）}\\{g{（x}_{0}）{＜（lnx+\frac{2}{x}）}_{min}}\end{array}\right.$，
∵lnx→+∞，（lnx+$\frac{2}{x}$）_min=1，
∴无解，故不存在．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，考查分类讨论的思想方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．