Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E为PD的中点．
（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角E-AC-D的大小，（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．
（2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-D的大小．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{CE}$=（-1，-1，$\frac{1}{2}$），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设直线CE与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{1}{3}$，
$θ=arcsin\frac{1}{3}$．
∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin$\frac{1}{3}$．
（2）$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，1，-2），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设二面角E-AC-D的大小为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{9}}$=$\frac{2}{3}$．
θ=arccos$\frac{2}{3}$．
∴二面角E-AC-D的大小为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面角、二面角的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．