Question

【题目】已知函数，其导函数的两个零点为和.

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）求函数的单调区间；

（III）求函数在区间上的最值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）增区间是， ，减区间是；（III）最大值为，最小值为.

【解析】试题分析：（I）求出，由解得，根据导数的几何意义可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（II）求出， 得增区间， 得减区间；（III）根据（II）求出函数的极值，与区间端点出的函数值进行比较即可得结果.

试题解析：（I）.

由知，解得

从而

所以，

曲线在点处的切线方程为

即.

（II）由于，当变化时， 的变化情况如下表：

		0		0
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

故的单调增区间是， ，单调减区间是.

（III）由于

故函数在区间上的最大值为，最小值为.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.