Question

已知函数f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
∴f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（0）=1，
即f（x）在点P（0，1）处的切线方程为y-1=x，即y=x+1．
（Ⅱ）要使函数f（x）为R上的单调递增函数，
则f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
①当x＞0时，2a≤

ex

x

成立，
设g（x）=

ex

x

，则g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
由g′（x）=0得x=1，
当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，
当x＜1时，g′（x）＜0，此时函数单调递减．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤

e

2

．
②x＜0时，2a≥

ex

x

成立，
∵

ex

x

＜0，∴2a≥0，则a≥0；
又a=0，f′（x）=e^x≥0恒成立；
综上，若函数f（x）为R上的单调递增函数，则0≤a≤

e

2

．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数的单调性和导数之间的应用，求出函数的导数是解决本题的关键．