【题目】已知椭圆,为坐标原点,为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的左、右焦点,且,,依次成等比数列,其离心率为.过点的动直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求直线的方程;
(3)在平面直角坐标系中,若存在与点不同的点,使得成立,求点的坐标.
【答案】(1)(2)直线的方程为或(3)点坐标为
【解析】
(1)根据条件列关于的方程组,解方程组即可得结果;
(2)验证当直线的斜率不存在时的情况,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立,先利用弦长公式求出,列方程求出,进而可得直线的方程;
(3)验证当直线与轴平行和垂直时的情况,直线的斜率存在时,可设直线的方程为,利用(2)中所求,利用韦达定理得到,,三点共线,进而可得成立,点坐标也可求出.
解(1)由题意知,
解得,,
所以椭圆的标准方程为;
(2)当直线的斜率不存在时,,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
联立,得,
其判别式,
设、坐标分别为,,
则,,
所以,
整理得,解得或,
所以或,
综上,直线的方程为或;
(3)因为存在点,使,
即,
①当直线与轴平行时,此时,
所以点在轴上,可设点坐标为;
当直线与轴垂直时,则,的坐标分别为,,
由,得,解得或,
因为不同于点,则点坐标只能为;
②下面证明,对任意直线,均有点,使成立,
当直线斜率不存在时,由上知,结论成立;
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,
由(2)中式得,
,,
所以,
易知,点关于轴对称的点的坐标为,
又因为,
,
所以,即,,三点共线,
所以,
即成立,
所以点坐标为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆过定点,且和直线相切,动圆圆心形成的轨迹是曲线,过点的直线与曲线交于两个不同的点.
(1)求曲线的方程;
(2)在曲线上是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图(1),在直角梯形中,为的中点,四边形为正方形,将沿折起,使点到达点,如图(2),为的中点,且,点为线段上的一点.
(1)证明:;
(2)当与夹角最小时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】记.
(1)求方程的实数根;
(2)设,,均为正整数,且为最简根式,若存在,使得可唯一表示为的形式,试求椭圆的焦点坐标;
(3)已知,是否存在,使得成立,若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列条件:①焦点在轴上;②焦点在轴上;③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于;④抛物线的准线方程是.
(1)对于顶点在原点的抛物线:从以上四个条件中选出两个适当的条件,使得抛物线的方程是,并说明理由;
(2)过点的任意一条直线与交于,不同两点,试探究是否总有?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列结论中
①若空间向量,,则是的充要条件;
②若是的必要不充分条件,则实数的取值范围为;
③已知,为两个不同平面,,为两条直线,,,,,则“”是“”的充要条件;
④已知向量为平面的法向量,为直线的方向向量,则是的充要条件.
其中正确命题的序号有( )
A.②③B.②④C.②③④D.①②③④
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点B(0,-2)和椭圆M:.直线l:y=kx+1与椭圆M交于不同两点P,Q.
(Ⅰ)求椭圆M的离心率;
(Ⅱ)若,求△PBQ的面积;
(Ⅲ)设直线PB与椭圆M的另一个交点为C,当C为PB中点时,求k的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集为{x|-2≤x≤6}.
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)=f(x)+f(x+3),若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求实数t的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com