Question

已知椭圆C：x²+2y²=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x²+y²=2的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB得到

OA

•

OB

=0，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x²+y²=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x²+y²=2相切．

解答： 解：（1）由x²+2y²=4，得椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
∴a²=4，b²=2，从而c²=a²-b²=2．
因此a=2，c=

2

．
故椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

；
（2）直线AB与圆x²+y²=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，即tx₀+2y₀=0，解得t=-

2y0

x0

．
当x₀=t时，y0=-

t2

2

，代入椭圆C的方程，得t=±

2

．
故直线AB的方程为x=±

2

，圆心O到直线AB的距离d=

2

．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．
当x₀≠t时，直线AB的方程为y-2=

y0-2

x0-t

(x-t)，
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圆心O到直线AB的距离d=

|2x0-ty0|

(y0-2)2+(x0-t)2

．
又x02+2y02=4，t=-

2y0

x0

．
故d=

|2x0+ 2y02 x0 |

x02+y02+ 4y02 x02 +4

=

| 4+x02 x0 |

x04+8x02+16 2x02

=

2

．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．

点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．