Question

已知函数f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)
（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调递增区间和最小值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A．B．C的对边，旦f（A）=-1，求

b-2c

acos(60°+C)

的值；
（3）在第二问的条件下，若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算法则和两角和差的正弦公式及其正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用两角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函数的单调性即可得出；
（3）利用余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式即可得出．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos2x-2

3

sinxcosx=1+cos2x-

3

sin2x
=-2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+1
=-2sin(2x-

π

6

)+1，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ解得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ(k∈Z)，
又x∈[0，π]，因此函数f（x）的单调递增区间为[

π

3

，

5π

6

]．
其最小值为f(

π

3

)=-2sin(2×

π

3

-

π

6

)+1=-2+1=-1．
（2）由f（A）=-1，可得f(A)=-2sin(2A-

π

6

)+1=-1，化为sin(2A-

π

6

)=1，
∵A∈（0，π），∴(2A-

π

6

)∈(-

π

6

，

11π

6

)，
∴2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

．即A=60°．
由正弦定理可得

b-2c

asin(60°+C)

=

sinB-2sinC

sin60°cos(60°+C)

=

sin(120°-C)-2sinC

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

3 2 cosC- 3 2 sinC

1 2 ( 3 2 cosC- 3 2 sinC)

=2．
（3）由（2）可知：A=60°．
∴3=a²=b²+c²-2bccos60°≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c=

3

时取等号．
∴△ABC面积=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×sin60°=

3 3

4

，即最大值为

3 3

4

．

点评：本题综合考查了数量积运算法则和两角和差的正弦公式及其正弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了知识的运用能力，属于难题．