Question

若二面角α-L-β的大小为

π

3

，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（　　）

• A、

  2 21

  3

• B、2
• C、2

  7

• D、2

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：计算题,空间角

分析：设过P，C，D的平面与l交于Q点，可以证出l⊥面PCQD于Q，∠DQC是二面角α-l-β的平面角，PQ是P到l的距离．且PQ是△PDC的外接圆的直径，在△PCD中利用余弦定理求出CD，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线l的距离．

解答： 解：设过P，C，D的平面与l交于Q点． 　　
由于PC⊥平面α，l?平面M，则PC⊥l，
同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，
∴l⊥面PCQD于Q．
又 DQ，CQ，PQ?平面PCQD
∴DQ⊥l，CQ⊥l．
∴∠DQC是二面角α-l-β的平面角．
∴∠DQC=60°
且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距离．
在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°
∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．
在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°-60°=120°，
由余弦定理得 CD²=1+4-2×1×2×（-

1

2

）=3，CD=

3

在△PDC 中，根据正弦定理

CD

sin∠CPD

=2R=PQ，代入数据得出PQ=2
∴点P到直线l的距离为2
故选：B．

点评：本题考查了二面角的定义、大小度量，解三角形的知识．分析得出PQ是P到l的距离，且利用正弦定理求出是关键．