Question

若sinα+cosα=

1

2

，则sin³α+cos³α=

 

，sin⁶α+cos⁶α=

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：由sinα+cosα=

1

2

两边同时平方可得，1+2sinαcosα=

1

4

，从而可得sinαcosα=-

3

8

（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）结合sinαcosα=-

3

8

及sin²α+cos²α=1代入可求
（2）sin⁶α+cos⁶α=（sin³α+cos³α）²-2（sinαcosα）³结合及sin³α+cos³α的值代入可求．

解答： 解：∵sinα+cosα=

1

2

，
两边同时平方可得，1+2sinαcosα=

1

4

，
∴sinαcosα=-

3

8

；
（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=

1

2

×

11

8

=

11

16

；
（2））sin⁶α+cos⁶α=（sin³α+cos³α）²-2（sinαcosα）³
=

11

16

²-2×（-

3

8

）³
=

37

64

．

点评：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题中要注意 一些常见式子的变形形式，属于公式的基本应用．