Question

12．设函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{ωx}{2}$+1（ω＞0），直线y=$\sqrt{3}$与函数f（x）的图象相邻两交点的距离为π．
（1）求ω的值；
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若点（$\frac{B}{2}$，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式及变形，两角差的正弦公式化简解析式，由题意和正弦函数的图象与性质求出周期，由三角函数的周期公式求出ω的值；
（2）由正弦函数图象的对称中心和题意列出方程，由内角的范围求出角B，根据内角和定理用A表示出C，由锐角三角形列出不等式组，求出A的范围，代入sinA+sinC利用两角和差的正弦公式化简，由整体思想、正弦函数的图象与性质，求出sinA+sinC的范围．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{ωx}{2}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx-cosωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$cosωx
=$\sqrt{3}sin（ωx-\frac{π}{3}）$…（2分）
∵直线y=$\sqrt{3}$与函数f（x）的图象相邻两交点的距离为π，
∴周期T=$π=\frac{2π}{ω}$，解得ω=2…（4分）
（2）∵点（$\frac{B}{2}$，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，
∴2×$\frac{B}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），则B=kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
由0＜B＜π得B=$\frac{π}{3}$，…（5分）
则C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，
因为锐角三角形  所以$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$…（8分）
 所以sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$   …（10分）
由$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
则$\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，
所以$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{3}{2}，\sqrt{3}]$  …（12分）

点评 本题考查了二倍角余弦公式及变形，两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．