Question

4．已知P为双曲线$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1右支上的动点，M为圆（x+5）²+y²=1上动点，N为圆（x-5）²+y²=4上的动点，则|PM|-|PN|的最小值、最大值分别为（　　）

• A． 4、8
• B． 3、9
• C． 2、10
• D． 1、11

Answer 1

分析 由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最小值和最大值．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1的两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），
则这两点正好是两圆（x+5）²+y²=1和（x-5）²+y²=4的圆心，半径分别是r₁=1，r₂=2，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|PM|_min=|PF₁|-1，|PN|_max=|PF₂|+2，
∴|PM|_max=|PF₁|+1，|PN|_min=|PF₂|-2，
∴|PM|-|PN|的最小值=（|PF₁|-1）-（|PF₂|+2）=6-3=3，
PM|-|PN|的最大值=（|PF₁|+1）-（|PF₂|-2）=6+3=9，
|PM|-|PN|的最小值、最大值分别3，9，
故选B．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力，属于中档题．