Question

4．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（2+x）=（2一x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）．若2＜a＜4，则f（log₂a，f（2^a），f（3）的大小关系为f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．（用“＜”连接）

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（-∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．

解答 解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）关于直线x=2对称；
又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减；
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，又4＜2^a＜16，f（log₂a）=f（4-log₂a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
∴f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．
故答案为：f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（-∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．