Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），若不等式$\frac{4}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n}$+ta_n≥0恒成立，则实数t的取值范围是[-6，+∞）．

Answer 1

分析 对a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*）等号两端取倒数，整理可得即$\frac{1}{（n+1{）a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{na}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1{•a}_{1}}$=2，可判断数列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．依题意，可得-t≤$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1恒成立，构造函数h（n）=$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1，可求得其最小值，从而可得实数t的取值范围．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）{na}_{n}+（n+1）}{{na}_{n}}$=（n+1）+$\frac{n+1}{{na}_{n}}$，
即$\frac{1}{（n+1{）a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{na}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1{•a}_{1}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{na}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∵不等式$\frac{4}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n}$+ta_n≥0恒成立，
∴-t≤$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1恒成立，
令h（n）=$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1，
则-t≤h（n）_min．
∵h（1）=4+1+1=6，
h（2）=6+2+1=9，
h（3）=6+3+1=10，
h（4）=5+4+1=10，
当n≥5时，n+1≥6，h（n）＞6，
∴h（n）_min=6．
∴-t≤6，
∴t≥-6．
故答案为：[-6，+∞）．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，突出考查等价转化思想与构造函数思想的综合运用，求得h（n）=$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1的最小值是关键，也是难点，亮点，属于难题．