Question

15．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$的图象经过点A（1，1），B（2，-1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在区间[$\frac{1}{4}$，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入解析式列出方程，求出a、b的值，即可求出f（x）；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；
（3）由（2）判断f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上的单调性，由单调性求出最值，即可得到f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）的图象过A（1，1）、B（2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{2a+\frac{b}{2}=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$f（x）=-x+\frac{2}{x}$  …（4分）
（2）证明：设任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（-x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
由x₁，x₂∈（0，+∞）得，x₁x₂＞0，x₁x₂+2＞0．
由x₁＜x₂得，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数$f（x）=-x+\frac{2}{x}$在（0，+∞）上为减函数．            …（10分）
（3）由（2）知，函数$f（x）=-x+\frac{2}{x}$在[$\frac{1}{4}$，1]上为减函数，
∴f（x）_min=f（1）=1，$f{（x）}_{max}=f（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{4}+8=\frac{31}{4}$，
∴f（x）的值域是$[1，\frac{31}{4}]$．（12）

点评 本题考查了定义法证明函数的单调性，待定系数法求函数的解析式，利用函数的单调性求函数的值域，考查方程思想，化简、变形能力．