Question

已知函数f(x)=4x³+3tx²-6tx+t-1，x∈R，其中t∈R，
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈(0，+∞)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．

Answer 1

解：（Ⅰ）解：当t=1时，

f′(0)=-6，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=-6x。
（Ⅱ）解：，
令f′(x)=0，解得x=-t或，
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递增区间是；f(x)的单调递减区间是。
（2）若t＞0，则，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递增区间是；f(x)的单调递减区间是；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t＞0时，f(x)在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当即t≥2时，f(x)在（0，1）内单调递减，
，
所以对任意t∈[2，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点；
（2）当即0＜t＜2时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，
若，
，
所以f(x)在内存在零点；
若，
f(0)=t-1＞0，
所以f(x)在内存在零点；
所以，对任意t∈(0，2)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意t∈(0，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。