Question

7．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥PB．
（1）求证：点P、A、B、C在同一个球面上；
（2）设PA=AB=BC=2，求三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）取PC中点O，连接OA，OB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得点P、A、B、C在同一个球面上；
（2）把三棱锥A-PBC的体积转化为P-ABC的体积求解，然后直接代入三棱锥的体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，

取PC的中点O，连结OA、OB，
∵PA⊥平面ABC，∴∠PAC=90°，则OA=OP=OC，
∵BC⊥PB，∴∠CBP=90°，则OB=OP=OC，
∴OA=OP=OB=OC，即P、A、B、C在同一个球面上；
（2）解：由PA⊥平面ABC，BC?面ABC，得PA⊥BC，
又BC⊥PB，∴AB⊥BC，
则V_A-PBC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．