Question

18．在△ABC中，a、b、c分别为内角∠A、∠B、∠C的对边，已知a+c=4$\sqrt{3}$，则△ABC面积的最大值为6．

Answer 1

分析 由条件可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB 再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．

解答 解：在△ABC中，∵a+c=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{a+c}{2}$）2=$\frac{1}{2}$×$\frac{48}{4}$=6，
当且仅当a=c=2$\sqrt{3}$，且 B=90°时，取等号，
故△ABC面积的最大值是 6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查三角形的面积，正弦函数的值域、基本不等式的应用，属于基础题．