Question

8．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士--12369”的绿色环保活动小组对2014年1月-2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：

指数API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中重度污染	重度污染
天数	4	13	18	30	9	11	15

（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：$P=\left\{\begin{array}{l}0，0≤t≤100\\ 4t-400，100＜t≤300\\ 1500，t＞300\end{array}\right.$，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈（200，600]元的概率；
（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合计	85	15	100

下面临界值表功参考．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由200＜4t-400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；
（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈（200，600]元”为事件A…（1分）
由200＜4t-400≤600，得150＜t≤250，频数为39，…（3分）
∴P（A）=$\frac{39}{100}$…．（4分）
（Ⅱ）根据以上数据得到如表：

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合计	85	15	100

…．（8分）
K²的观测值K²=$\frac{100×（63×8-22×7）^{2}}{85×15×30×70}$≈4.575＞3.841…（10分）
所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…（12分）

点评 本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．