Question

20．设m个不全相等的正数a₁，a₂，…，a_m（m≥3）依次围成一个圆圈．
（1）设m=2015，且a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀₈是公差为d的等差数列，而a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比为q=d的等比数列；数列a₁，a₂，…，a_m的前n项和S_n（n≤m）满足S₃=15，S₂₀₁₅=S₂₀₁₃+12a₁，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a₁=a，a₂=b（a≠b），若数列a₁，a₂，…，a_m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a₈；
（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．

Answer 1

分析 （1）利用a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比为d的等比数列，求出d，S₃=3a₁+3d=15，解得a₁=2，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）确定a_n=a_n-1a_n+1，依此类推a₈=a₂=b；
（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反证法进行证明即可．

解答 解：（1）因a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比为d的等比数列，
从而${a_{2015}}={a_1}q，{a_{2014}}={a_1}{q^2}$（1分）
由S₂₀₁₅=S₂₀₁₃+12a₁，a₂₀₁₅+a₂₀₁₄=12a₁，（2分）
故解得d=3或d=-4（舍去）（3分）
因此d=3，又S₃=3a₁+3d=15，解得a₁=2（4分）
从而当n≤1008时，a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1（5分）
当1009≤n≤2015时，由a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比为d的等比数列得${a_n}={a_1}{d^{2015-（{n-1}）}}={a_1}{3^{2016-n}}$（1009≤n≤2015），
因此${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3n-1，n≤1008\\ 2•{3^{2016-n}}，1009≤n≤2015\end{array}\right.$（6分）
（2）由题意${a_n}^2={a_{n-1}}^2{a_{n+1}}^2，{a_m}^2={a_{m-1}}^2{a_1}^2，{a_1}^2={a_m}^2{a_2}^2$，
∴a_n=a_n-1a_n+1，（7分）
得${a_3}=\frac{a_2}{a_1}，{a_4}=\frac{1}{a_1}，{a_5}=\frac{1}{a_2}，{a_6}=\frac{a_1}{a_2}$，（8分）a₇=a₁=a（9分）
依此类推a₈=a₂=b（10分）
（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，（11分）                                 
${a_n}^2={a_{n-1}}^2{a_{n+1}}^2，{a_m}^2={a_{m-1}}^2{a_1}^2，{a_1}^2={a_m}^2{a_2}^2$得$\left\{\begin{array}{l}{a_n}={a_{n-1}}{a_{n+1}}（1＜n＜m），①\\{a_m}={a_{m-1}}{a_1}②\\{a_1}={a_m}{a_2}③\end{array}\right.$
又${a_{r+3}}=\frac{{{a_{r+2}}}}{{{a_{r+1}}}}=\frac{{{a_{r+1}}}}{a_r}•\frac{1}{{{a_{r+1}}}}=\frac{1}{a_r}（1≤r≤m-3）$，（12分）
④故有${a_{r+6}}=\frac{1}{{{a_{r+3}}}}={a_r}（1≤r≤m-6）$．⑤（13分）
若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，则由此得a_m=a_6k+1=a₁，
而由③得${a_m}=\frac{a_1}{a_2}，故{a_1}=\frac{a_1}{a_2}$，得a₂=1，（14分）
由②得${a_{m-1}}=\frac{a_m}{a_1}，从而{a_6}={a_{6k}}={a_{m-1}}$，
而${a_6}=\frac{a_1}{a_2}，故{a_1}={a_2}=1，由$此推得a_n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，（15分）
同理若P=2，3，4，5均可得a_n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，
因此m=6k为6的倍数．（16分）

点评 本题考查等差数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，有难度．