Question

12．已知正实数x，y满足x+3y=1，则$\frac{1}{x}+\frac{3x}{y}$的最小值为7．

Answer 1

分析 正实数x，y满足x+3y=1，可得$y=\frac{1-x}{3}$＞0，解得0＜x＜1．于是$\frac{1}{x}+\frac{3x}{y}$=$\frac{1}{x}+\frac{9x}{1-x}$=f（x），利用导数研究单调性极值即可得出．

解答 解：∵正实数x，y满足x+3y=1，∴$y=\frac{1-x}{3}$＞0，解得0＜x＜1．
则$\frac{1}{x}+\frac{3x}{y}$=$\frac{1}{x}+\frac{9x}{1-x}$=f（x），
∴f′（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{（1-x）^{2}}$=$\frac{（2x+1）（4x-1）}{（x-{x}^{2}）^{2}}$，
当x∈$（0，\frac{1}{4}）$时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈$（\frac{1}{4}，1）$时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{1}{4}$时，函数f（x）取得极小值即最小值，$f（\frac{1}{4}）$=4+3=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了利用导数研究单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．