Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量，则“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$”是|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条既

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义，结合数量积的应用进行判断即可．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|平方得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²，
即$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$成立，
反之也成立，
故“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$”是|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的充要条件，
故选：C

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的运算和性质是解决本题的关键．