Question

13．已知四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，E，F分别为AD，PC的中点，
EF⊥BD，2AP=2AB=AD，以AD为直径的圆经过点B．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若AB=PB=2．求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

分析 （I）如图所示，取PB的中点G，连接AG，FG，利用三角形中位线定理可得：四边形AEFG是平行四边形，可得EF∥AC，可得AG⊥BD．由以AD为直径的圆经过点B，
可得BD⊥AB．可得DB⊥平面PAB，即可平面PAB⊥平面ABCD；
（II）取AB的中点H，连接PH，利用正三角形可得：PH⊥AB．PH=$\sqrt{3}$．又F是PC的中点，可得点F到平面ABCD的距离d=$\frac{1}{2}$PH，由BD⊥AB，可得BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$，可得点B到AD的距离h=$\frac{AB•BD}{AD}$，S_△BCE=$\frac{1}{2}BC•h$．利用V_C-BEF=V_F-BCE=$\frac{1}{3}d•{S}_{△BCE}$即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，取PB的中点G，连接AG，FG，
由已知可得FG$\underset{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，
∵AE$\underset{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，∴FG$\underset{∥}{=}$AE．
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴EF∥AC，
∵EF⊥BD，∴AG⊥BD．
∵以AD为直径的圆经过点B，
∴BD⊥AB．
又AG∩AB=A，∴DB⊥平面PAB，
又DB?平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（II）解：取AB的中点H，连接PH，
∵AP=AB=BP=2，
∴PH⊥AB．PH=$\sqrt{3}$．
又F是PC的中点，
∴点F到平面ABCD的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BD⊥AB，∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴点B到AD的距离h=$\frac{AB•BD}{AD}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}BC•h$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
∴V_C-BEF=V_F-BCE=$\frac{1}{3}d•{S}_{△BCE}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$=1．

点评 本题考查了线面平行垂直的判定与性质定理、平行四边形的性质、正三角形的性质、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与体积计算公式，属于中档题．