Question

3．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+a）x，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，求出f′（x）的解析式，令f′（x）=0，求得x的值，再利用导数的符号确定函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由题意可得，f′（x）=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．由f′（x）=0求得根的值，可得a的取值范围

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$•x²-（1+a）x 的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{2}{x}$+x-（1+2）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$
令f′（x）=0，求得x=1，或 x=2．
在（0，1）、（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，则f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-1-a=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．
由f′（x）=0求得x=1或x=a，
∴1＜a＜2，
故a的取值范围为（1，2）．

点评 本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．