Question

8．已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于16+16$\sqrt{3}$，则球O的体积等于（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}π}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{2}π}{3}$
• C． $\frac{32\sqrt{2}π}{3}$
• D． $\frac{64\sqrt{2}π}{3}$

Answer 1

分析 当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于16+16$\sqrt{3}$，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积．

解答 解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的表面积等于16+16$\sqrt{3}$，
设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图，
∴该四棱锥的底面边长为AB=$\sqrt{2}$R，
则有（$\sqrt{2}$R）²+4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$R×$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}+{R}^{2}}$=16+16$\sqrt{3}$，
解得R=2$\sqrt{2}$
∴球O的体积是$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{64\sqrt{2}}{3}$π．
故选：D．

点评 本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解．