Question

17．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：
①CD=3；
②BC=5；
③BD=2AC；
④∠CBD=30°．
则所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．
②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP=$\frac{{7}^{2}+{5}^{2}-{3}^{2}}{2×7×5}$=$\frac{13}{14}$，在△BCP中，由余弦定理可得：BC²=$1{0}^{2}+{5}^{2}-2×10×5×\frac{13}{14}$，解出BC．
③由△PCA∽△PBD，可得$\frac{CA}{BD}=\frac{PC}{PB}$，即可判断出正误．
④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．

解答 解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．
由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，
∴4×10=8PC，解得PC=5，
∴CD=PD-PC=3，正确．
②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：
cosP=$\frac{{7}^{2}+{5}^{2}-{3}^{2}}{2×7×5}$=$\frac{13}{14}$，
在△BCP中，由余弦定理可得：
BC²=$1{0}^{2}+{5}^{2}-2×10×5×\frac{13}{14}$=$\frac{225}{7}$，
解得BC=$\frac{15}{\sqrt{7}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{7}$，因此②不正确．
③∵△PCA∽△PBD，
∴$\frac{CA}{BD}=\frac{PC}{PB}$=$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，∴BD=2CA，正确．
④连接OD，则△OCD为正三角形，
∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．
综上可得：只有①③④正确．
故选：D．

点评 本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．