Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=AB=1，$AD=\sqrt{3}$，求点P到平面AEC的距离．
（3）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC与点O，连结EO，通过中位线定理及线面平行的判定定理可得结论；
（2）通过等体积转化，利用三角形的面积公式计算即得结论；
（3）过E坐EM⊥AD垂足为M，过M作MN⊥AC，垂足为N，连接EN．则∠MNE为二面角E-AC-D的平面角，在Rt△MNE中计算即可．

解答 （1）证明：连结BD交AC与点O，连结EO，
∵底面ABCD为矩形∴O为BD的中点，
又∵E为PD的中点∴OE为△PBD的中位线，
则OE∥PB，
又OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（2）解：∵PB∥平面AEC，
∴P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等，
∴V_P-AEC=V_B-AEC=V_E-ABC，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且E到平面ABC的距离为$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，
AC=2，EC=$\sqrt{C{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AE=$\frac{1}{2}PD$=1，
∴由海伦公式可得S_△AEC=$\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}（\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}-1）（\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}-\sqrt{2}）（\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}-2）}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
设P到平面AEC的距离为h，
则$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{7}}}{4}×h=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1}{2}$，可得h=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴P到平面AEC的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$；
（3）解：过E坐EM⊥AD垂足为M，过M作MN⊥AC，垂足为N，连接EN．
易证∠MNE为二面角E-AC-D的平面角．
△ACD的边AC上的高为$\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$MN=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∵$EM=\frac{1}{2}$，$EN=\sqrt{M{N^2}+E{M^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$cos∠MNE=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{4}}}{{\frac{{\sqrt{7}}}{4}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
所以二面角E-AC-B的余弦值为$-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的判定定理，中位线定理，点到面的距离，海伦公式，勾股定理，二面角等知识，等体积的相互转化是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．