Question

3．已知函数f（x）=lnx+ax²+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件求得f′（x），再根据有f′（1）=0，求得a的值．
（2）由条件求得f′（x），分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx+ax²+x的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+1，
依题意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=-1．
此时，f′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为0．
（2）因为f′（x）=$\frac{{2ax}^{2}+x+1}{x}$，
（ⅰ）当a≥0时，因为x∈（0，+∞），所以f′（x）=$\frac{{2ax}^{2}+x+1}{x}$＞0，此时函数f（x）在（0+∞）是增函数．
（ⅱ）当a＜0时，令f′（x）=0，则2ax²+x=1=0．因为△=1-8a＞0，
此时，f′（x）=$\frac{{2ax}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{2a（x{-x}_{1}）（x{-x}_{2}）}{x}$，
其中，x₁=-$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，x₂=-$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$．
因为a＜0，所以 x₂＞0，又因为 x₁•x₂=$\frac{1}{2a}$＜0，所以x₁＜0．
∴当0＜x₁＜x₂时，f′（x）＞0，当x₁＞x₂时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，x₂）上是增函数，在（x₂，+∞）上是减函数．
综上可知，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，-$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$），单调递减区间是（-$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$，+∞）．

点评 本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．