Question

12．已知x，y均为正实数，若$\overrightarrow{a}$=（x，y-1），$\overrightarrow{b}$=（2，1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值是8．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，考点$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即2x+y=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2x+y-1=0，即2x+y=1．
又x，y均为正实数，
则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=4+$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8，当且仅当y=2x=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案为：8．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．