Question

6．已知函数$f（x）=alnx+\frac{1}{x}+\frac{1}{{2{x^2}}}，a∈R$．
（1）a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：$（{x-1}）（{{e^{-x}}-x}）+2lnx＜\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得f′（x），分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间．
（2）由（1）可知：f（1）_min=f（1），可得$2lnx-x-\frac{x^2}{2}≤-\frac{3}{2}$．令$g（x）=（{x-1}）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，利用导数研究其单调性极值与最值可得：g（x）的最大值，即可得出．

解答 （1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），又$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}=\frac{{a{x^2}-x-1}}{x^3}$．
当a=2时，$f'（x）=\frac{{（{2x+1}）（{x-1}）}}{x^3}$．令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增．
（2）证明：由（1）可知，f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增．
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}，2lnx+\frac{1}{x}+\frac{1}{{2{x^2}}}≥\frac{3}{2}$．
即$2ln\frac{1}{x}+x+\frac{x^2}{2}≥\frac{3}{2}$，∴$2lnx-x-\frac{x^2}{2}≤-\frac{3}{2}$．
令$g（x）=（{x-1}）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，而g'（x）=（2-x）（e^-x+1），
易知x=2时，g（x）取得最大值，即$g（x）≤g（2）=\frac{1}{e^2}+2$．
∴$（{x-1}）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x+2lnx-x-\frac{x^2}{2}=2lnx+（{x-1}）（{{e^{-x}}-x}）＜\frac{1}{e^2}+2-\frac{3}{2}＜\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．