Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点．

（1）如果直线过抛物线的焦点，求的值；

（2）如果，证明直线必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点，证明过程详见解析.

【解析】

Ⅰ根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．

Ⅱ设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．

Ⅰ由题意：抛物线焦点为

设l：代入抛物线消去x得，

，设，

则，

．

Ⅱ设l：代入抛物线，消去x得

设，

则，

令，．

直线l过定点．