【题目】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面ADG;
(2)求此多面体的全面积.
【答案】
(1)证明:在△BAD中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°,
∴由余弦定理可得BD= ,
则AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.
在直平行六面体中,GD⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴GD⊥BD,
又AD∩GD=D,∴BD⊥平面ADG;
(2)解:由已知可得,AG∥EF,AE∥GF,
∴四边形AEFG为平行四边形,
GD=AD=1,∴EF=AG= .
EB=AB=2,∴GF=AE=2 .
过G作GH∥DC交CF于H,得FH=2,∴FC=3.
过G作GM∥DB交BE于M,得GM=DB= ,ME=1,∴GE=2.
cos∠GAE= ,∴sin∠GAE=
.
.
该几何体的全面积S= .
【解析】(1)在△BAD中,由余弦定理求得BD= ,可得AB2=AD2+BD2,得AD⊥BD.再由已知可得CD⊥BD,由线面垂直的判定可得BD⊥平面ADG;(2)由已知可得,AG∥EF,AE∥GF,得四边形AEFG为平行四边形,然后求出各面面积得答案.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想).
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【题目】已知不等式|x+3|﹣2x﹣1<0的解集为(x0 , +∞) (Ⅰ)求x0的值;
(Ⅱ)若函数f(x)=|x﹣m|+|x+ |﹣x0(m>0)有零点,求实数m的值.
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【题目】已知函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0). (I)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1 , x2(x1<x2),且f(x1)﹣f(x2)≥ ﹣2ln2恒成立,求a的取值范围.
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【题目】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC,Q为BB1的中点,过A1 , Q,D三点的平面记为α.
(1)证明:平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD;
(2)若AA1=3,BC=CD= ,∠BCD=120°,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.
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【题目】《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隔,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S= .现有周长为2
+
的△ABC满足sinA:sinB:sinC=(
﹣1):
:(
+1),试用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知向量 ,
满足|
|=2,|
|=1,则下列关系可以成立的而是( )
A.( ﹣
)⊥
B.( ﹣
)⊥(
+
)
C.( +
)⊥
D.( +
)⊥
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【题目】已知函数f(x)=(ax﹣1)e2x+x+1(其中e为自然对数的e底数).
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)对x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知椭圆 抛物线
焦点均在
轴上,
的中心和
顶点均为原点
,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于表中,则
的左焦点到
的准线之间的距离为( )
A.
B.
C.1
D.2
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【题目】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数,且满足xf′(x)>f(x),则不等式(x﹣1)f(x+1)>f(x2﹣1)的解集是 .
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