Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面或体内任取一点M，若

AA1

•

AM

≥1，则动点M所构成的几何体的体积为（　　）

• A、4
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：常规题型,计算题,解题方法,空间角

分析：先以A为原点建立空间直角坐标系，由数量积公式得出点M到平面ABCD的距离大于等于

1

2

，点M的轨迹是正方体的一部分，求出其体积，

解答：解：正方体的体积为V=2³=8，
以A为原点建立空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴．
那么A（0，0，0），A₁（0，0，2）
设M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]
∴

AM

=（x，y，z），

AA1

=（0，0，2）
则

AA1

•

AM

≥1，即2z≥1，z≥

1

2

．
即点M与平面ABCD的距离大于等于

1

2

，
点M的轨迹是正方体的

3

4

，
其体积为：V₁=

3

4

×23=6，
故选：B．

点评：本题考查了几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．