Question

已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．

(1）求的解析式；

(2）求函数的单调递增区间及极值。

（3）求函数在的最值。

 

Answer 1

（1）（2）函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞）．在x2=1有极小值为0．在有极大值．（3）函数g（x）的最大值为2，最小值为0．

【解析】

试题分析：（1）由f（x）=ax2+bx﹣3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）．

（2）由f（x）=x2﹣2x﹣3，知g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得，x2=1．列表讨论能求出函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．

（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．

试题解析：(1)由,可得. 由题设可得     即

解得,.所以.

(2)由题意得,所以.令,得,.

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所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞）．在x2=1有极小值为0．

在有极大值．

（3）∵g（0）=0，g（2）=2，

∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．