Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）试在棱CC₁上求一点，使得平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

Answer 1

解：（1）证明：连CD₁交C₁D于O点，连OE，
因为O是CD₁的中点，所以，OE∥BD₁，所以，BD₁∥平面C₁DE．
（2）过B₁点作C₁E的垂线，并延长，交CC₁于P点．
在正方形BCC₁B₁中，易证Rt△B₁C₁P≌Rt△C₁CE，得P是CC₁的中点．
因为A₁B₁⊥平面B₁C，C₁E?平面B₁C，所以A₁B₁⊥C₁E，
又因为C₁E⊥B₁P，所以，C₁E⊥平面A₁B₁P，
所以平面A₁B₁P⊥平面C₁DE，故取CC₁的中点P，就有平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．
分析：（1）连CD₁交C₁D于O点，连OE，根据OE是三角形CBD₁的中位线，可得OE∥BD₁，所以，BD₁∥平面C₁DE．
（2）过B₁点作C₁E的垂线，并延长交CC₁于P点，可证P是CC₁的中点，再由A₁B₁⊥C₁E 可得，C₁E⊥平面A₁B₁P，
故有平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．
点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定，面面垂直的判定，体现了数形结合的数学思想，证明C₁E⊥平面A₁B₁P，是解题的关键．