Question

10．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx．
 （1）求实数a的值；
  （2）设x₁，x₂（x₁＜x₂） 是函数g（x）的两个极值点，记t=$\frac{x_1}{x_2}$，若b≥$\frac{13}{3}$，
①t的取值范围；
②求g（x₁）-g（x₂） 的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值；
（2）①求出g'（x），利用$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=t+2+$\frac{1}{t}$=（b-1）²≥$\frac{100}{9}$，求出t的取值范围；
②构造h（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），即可求g（x₁）-g（x₂） 的最小值．

解答 解：（1）由题意，f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，
∵在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，∴f′（1）=1+a=2，∴a=1；
（2）g（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-（b-1）x，g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（b-1）x+1}{x}$，
令g′（x）=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=t+2+$\frac{1}{t}$=（b-1）²≥$\frac{100}{9}$，
∵x₁＜x₂，∴0＜t＜1，∴0＜t≤$\frac{1}{9}$；
②g（x₁）-g（x₂）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
设h（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
t∈（0，$\frac{1}{9}$]，
∴h′（t）=-$\frac{（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0，
∴h（t）在定义域内单调递减，∴h（t）_min=h（$\frac{1}{9}$）=$\frac{40}{9}$-2ln3，
∴g（x₁）-g（x₂） 的最小值为$\frac{40}{9}$-2ln3．

点评 本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．