Question

【题目】已知函数．

（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；

（2）记在区间内的实根为，函数，若方程在区间有两不等实根，证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）构造函数，利用导数证明在上单调递增，再结合零点定理即可得证；

（2）先理解题意，为取小函数，先确定函数在，的单调性，

再将证明命题转化为证明命题，即证，再构造函数利用导数证明即可.

（1）证明：，定义域为，而．故，即在上单调递增，

又，而在上连续，故在区间有且仅有唯一实根．

（2）由（1）知，当时，，且存在，使得

，故，

当时，，因而单增；当时，，因而递减；则． 要证：，只要证 ，因为 ，只要证，即证， 而在上递减，故可证，又由，即证，即，

记，，

记，当时，；时，故，，从而，因此，

即单增，从而时，，即，

故，所以，

故命题得证．