Question

14．已知△ABC得面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，且AC=2，AB=3．
（1）求$\frac{sinA}{sinB}$；
（2）若点D为AB边上一点，且△ACD与△ABC的面积之比为1：3．
①求证：AB⊥CD；
②求△ACD内切圆得半径r．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式和平面向量的数量积，求出A的值，再利用余弦定理和正弦定理求出$\frac{sinA}{sinB}$的值；
（2）①根据题意，画出图形由△ACD与△ABC的面积比求出AD的值，再利用余弦定理求出CD，利用勾股定理的逆定理证明AB⊥CD；
②设△ACD内切圆的半径为r，利用面积公式即可求出r的值．

解答 解：（1）如图所示，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cosA，
∴$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{3}$，
即tanA=$\sqrt{3}$；
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
由余弦定理：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=4+9-6=7，
解得BC=$\sqrt{7}$，
∴$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（2）①根据题意，画出图形如图所示，

当△ACD与△ABC的面积之比为1：3时，
设AB边上的高为h，
则$\frac{1}{2}$AD•h×3=$\frac{1}{2}$AB•h，
∴3AD=AB，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=1，AC=2，∠A=$\frac{π}{3}$；
∴CD²=AC²+AD²-2AC•ADcos$\frac{π}{3}$=2²+1²-2×2×1×$\frac{1}{2}$=3，
∴CD²+AD²=AC²，
∴∠ADC=$\frac{π}{2}$，
∴AB⊥CD；
②设△ACD内切圆的半径为r，则
S_△ADC=$\frac{1}{2}$r（AC+AD+CD）=$\frac{1}{2}$AD•CD，
即r（2+1+$\sqrt{3}$）=1×$\sqrt{3}$，
解得r=$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查了三角形面积公式和平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．