Question

3．已知曲线C₁的极坐标方程ρ=2sinθ，曲线C₂的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=t}\end{array}\right.$
（Ⅰ）把曲线C₁，C₂的方程为普通方程；
（Ⅱ）在曲线C₁上取一点A，在曲线C₂上取一点B，求线段AB的最小值．

Answer 1

分析 （I）由已知中曲线C₁的极坐标方程ρ=2sinθ，曲线C₂的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=t}\end{array}\right.$，可得曲线C₁，C₂的方程为普通方程；
（Ⅱ）在曲线C₁上取一点A，在曲线C₂上取一点B，则线段AB的最小值等于圆心到直线的距离减半径．

解答 解（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
故曲线C₁的普通方程为：x²+y²=2y，
即：x²+（y-1）²=1，
曲线C₂的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=t}\end{array}\right.$
故曲线C₂的普通方程为：x-2y-3=0；
（Ⅱ）曲线C₁是圆，圆心为（0，1），半径为1，
圆心为（0，1）到直线x-2y-3=0的距离d=$\frac{|0-2×1-3|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故线段AB的最小值$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，难度中档．