Question

4．已知函数f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$的零点分别为x₁，x₂ ，x₃，则x₁，x₂ ，x₃的大小关系是x₁＜x₂＜x₃．

Answer 1

分析 根据函数解析式判断出f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$都是单调递增函数，运用函数零点定理判断x₁，x₂ ，x₃的范围即可得x₁，x₂ ，x₃的大小

解答 解：∵f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$都是单调递增函数，
∴f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$均只有一个零点，
∵f（-1）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$＜0，f（0）=1＞0，
∴f（x）=2^x+x的零点x₁∈（-1，0）．
∵$\lim_{x→0}$g（x）=-∞，g（1）=1＞0
∴g（x）的零点x₂∈（0，1）；
∵h（4）=0
∴h（x）的零点x₃=4，
∴x₁＜x₂＜x₃．
故答案为：x₁＜x₂＜x₃

点评 本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可．