Question

9．已知抛物y²=2px（p＞0）焦点F在直线l：x-my-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0上且直线l与抛物线交于A、B两点，A、B两点在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₂，△AA₁F、△BB₁F的重心分别为G、H．证明：当|m|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，点M（-$\frac{{m}^{2}}{2}$，0）在以GH为直径的圆外．

Answer 1

分析 根据焦点F（$\frac{p}{2}$，0）在直线l上，得p=m²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后由直线l：x-my-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0与y²=2m²x消去x表示出两根之和、两根之积，然后设M₁，M₂分别为线段AA₁，BB₁的中点，根据重心的定义可得到G（$\frac{{x}_{1}}{3}$，$\frac{2{y}_{1}}{3}$），H（$\frac{{x}_{2}}{3}$，$\frac{2{y}_{2}}{3}$），和GH的中点坐标M（$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$，$\frac{2{m}^{3}}{3}$）．再由R²=$\frac{1}{4}$|GH|²可得到关于m的关系式，然后表示出|MN|整理即可得证．

解答 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
因为焦点F（$\frac{p}{2}$，0）在直线l上，得p=m²
由直线l：x-my-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0与y²=2m²x消去x得y²-2m³y-m⁴=0，
由于|m|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故△=4m⁶+4m⁴＞0，
且有y₁+y₂=2m³，y₁y₂=-m⁴，
设M₁，M₂分别为线段AA₁，BB₁的中点，可知G（$\frac{{x}_{1}}{3}$，$\frac{2{y}_{1}}{3}$），H（$\frac{{x}_{2}}{3}$，$\frac{2{y}_{2}}{3}$），
所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{6}$=$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$，$\frac{2{y}_{1}+2{y}_{2}}{6}$=$\frac{2{m}^{3}}{3}$，
所以GH的中点M（$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$，$\frac{2{m}^{3}}{3}$）．
设R是以线段GH为直径的圆的半径，
则R²=$\frac{1}{4}$|GH|²=$\frac{1}{9}$（m²+4）（m²+1）m²
设抛物线的准线与x轴交点N（-$\frac{{m}^{2}}{2}$，0），
则|MN|²=（$\frac{{m}^{2}}{2}$+$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$）+（$\frac{2{m}^{3}}{3}$）²
=$\frac{1}{9}$m⁴（m⁴+8m²+4）
=$\frac{1}{9}$m⁴[（m²+1）（m²+4）+3m²]
＞$\frac{1}{9}$m²（m²+1）（m²+4）=R²．
故N在以线段GH为直径的圆外．

点评 本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．