Question

13．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为同一平面内的两个向量，且$\overrightarrow{a}$=（1，2），|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． π

Answer 1

分析 计算|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|，根据向量垂直列方程得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入向量的夹角公式计算夹角余弦．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，即10+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{5}{2}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-1．
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=π．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与向量数量积的关系，属于中档题．