Question

（2011•盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是

（-1+

2

，1）

．

Answer 1

分析：设P（x，y），根据PQ⊥l且四边形PQFA为平行四边形，得|PQ|=x+

a2

c

=a+c，可得x=a+c-

a2

c

．利用点P的横坐标满足x∈（-a，a），建立关于a、c的不等式组，再化成关于离心率的一元二次不等式，解之即可得到椭圆的离心率e的取值范围．

解答：解：设P（x，y），则
∵PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，
∴|PQ|=x+

a2

c

=a+c，可得x=a+c-

a2

c

∵椭圆上点P的横坐标满足x∈[-a，a]，且P、Q、F、A不在一条直线上
∴-a＜a+c-

a2

c

＜a，即2a+c-

a2

c

＞0且c-

a2

c

＜0
化简得2+e-

1

e

＞0，即e²+2e-1＞0
解之得e＜-1-

2

或e＞-1+

2

∵椭圆的离心率e∈（0，1）
∴椭圆的离心率e的取值范围是（-1+

2

，1）
故答案为：（-1+

2

，1）

点评：本题给出椭圆上一点P在左准线上的射影点为Q，P、Q与左焦点F和右顶点A构成平行四边形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于基础题．