Question

13．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=3a_n-$\frac{2}{9}$，a_n≠0（n∈N^*）；
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和S_n；
（2）若b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，（n∈N^*），求b_n和a值；
（3）设T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=3a_n-$\frac{2}{9}$可求得a₁=$\frac{2}{9}$；当n≥2时，a_n=3a_n-1，从而可知数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a_n和S_n；
（2）b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，结合（1）的结论，即可求b_n和a值；
（3）设T_n是数列{b_n}的前n项和，求出T_n，即可求T_n的取值范围．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-$\frac{2}{9}$，
∴2a₁=2S₁=3a₁-$\frac{2}{9}$，
解得a₁=$\frac{2}{9}$．
当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-$\frac{2}{9}$，
∴2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1，
∴2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{2}{9}$，公比为3的等比数列，
∴a_n=$\frac{2}{9}$•3^n-1=2•3^n-3
S_n=$\frac{\frac{2}{9}（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3^n-2-$\frac{1}{9}$；
（2）由（1）知，S_n=3^n-2-$\frac{1}{9}$．
∵b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，（n∈N^*），
∴b_n=$\frac{2n+3}{{（9{S_n}+1）n（n+1）}}$=$\frac{2n+3}{[9×（{3}^{n-2}-\frac{1}{9}）+1]n（n+1）}$=$\frac{2n+3}{{3}^{n}n（n+1）}$=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
即$\frac{2n+3}{{3}^{n}n（n+1）}$=$\frac{3a}{n•{3}^{n}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
∴$\frac{2n+3}{n（n+1）}$=$\frac{3a}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴a=1．
综上所述，b_n=$\frac{2n+3}{{3}^{n}n（n+1）}$，a=1；
（3）b_n=$\frac{a}{{n•{3^{n-1}}}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$=$\frac{1}{n•{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•3}$-$\frac{1}{3•{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{n•{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$=1-$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$，
∵0＜$\frac{1}{{（n+1）•{3^n}}}$≤$\frac{1}{6}$
∴$\frac{5}{6}$≤T_n＜1．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．