Question

18．若$0≤θ≤\frac{π}{2}$，当点（1，cosθ）到直线xsinθ+ycosθ-1=0的距离是$\frac{1}{4}$时，这条直线的斜率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据点到直线的距离公式建立方程关系，求出θ的值，结合直线的斜率进行求解即可．

解答 解：点（1，cosθ）到直线xsinθ+ycosθ-1=0的距离d=$\frac{|sinθ+cos^2θ-1|}{\sqrt{sin^2θ+cos^2θ}}$=|sinθ-sin²θ|=$\frac{1}{4}$，
∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，∴0≤sinθ≤1，则sinθ-sin²θ≥0，
则sinθ-sin²θ=$\frac{1}{4}$，
即4sin²θ-4sinθ+1=0，
则（2sinθ-1）²=0，
则sinθ=$\frac{1}{2}$，则θ=$\frac{π}{6}$，
则直线的斜率k=-$\frac{sinθ}{cosθ}$=-tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：D

点评 本题主要考查直线斜率的计算，根据点到直线的距离公式求出角θ的值是解决本题的关键．