Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．

（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．

分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），

P（0，0，4），

又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．

所以 ， ，

所以 = ，

所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为

（2）解：因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则 ， ， ，

设平面PBC的法向量为 =（x，y，z），

则 令x=2，解得y=0，z=1，

所以 =（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 ，

所以 ，

解得λ=1∈[0，4]，

所以λ的值为1．

【解析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ， ，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 ，求λ的值．
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角和空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．